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Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas ocorrem quando encontramos uma igualdade, por exemplo, A = B, para isso, precisamos provar que A é de fato igual a B. Basicamente precisamos provar que o resultado de igualdade mostrado está correto, que são igualdades de funções trigonométricas.

Quando chegamos em um cálculo de identidade trigonométrica é importante que você já tenha aprendido todas as razões trigonométricas anteriores, como:

Identidades trigonométricas

Sendo assim, quando aparecer uma identidade trigonométrica para você provar se ela de fato é igual, simplesmente aparecerá uma igualdade usando várias razões trigonométricas.

Por exemplo:

Sec² x = 1 + tg² x

Dica: Modifique todo o cálculo em função de seno e cosseno, e teremos a seguinte equação:

Identidades trigonométricas

Desta forma concluímos que:

Sec² x = 1 + tg² x é igual a 1 = cos² x + sen² x

Com base no exemplo acima, vamos trabalhar agora alguns exercícios:

Exercício 1:

tg x + cotg x = sec x . cossec x

Identidades trigonométricas

Exercício 2:

Identidades trigonométricas

Exercício 3

Identidades trigonométricas

Exercício 4

Identidades trigonométricas

Exercício 5

Identidades trigonométricas

Matriz

A matriz é uma estrutura matemática organizada na forma de tabela, formada por linhas e colunas, que são utilizadas na organização de dados e informações.

As matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares, e podem ser construídas com “m” linhas e “n” colunas. Vamos entender mais sobre a matriz conferindo alguns exemplos básicos abaixo.

1° Exemplo:

1
2
3

Matriz de ordem 3 x 1, isto é, três linhas e uma coluna.

2° Exemplo:

-2  3
-78  8
 2 -3

Matriz de ordem 3 x 2, isto é, três linhas e duas colunas.

3° Exemplo:

1 2 3 4

Matriz de ordem 1 x 4, isto é, uma linha e quatro colunas.

Matriz quadrada

As matizes que possuem números de linhas e colunas iguais, são chamadas de matrizes quadradas, observe o exemplo abaixo:

-1 3
5 2

Matriz quadrada de ordem 2 x 2.

Posicionamento das matrizes

Dentro da matriz, percebemos que cada elemento ocupa seu espaço de acordo com a sua localização:

2 5
7 9
  • Elemento 2 na linha um e primeira coluna.
  • Elemento 5 na linha um e segunda coluna.
  • Elemento 7 na linha dois e primeira coluna.
  • Elemento -9 na linha dois e segunda coluna.

Sendo assim, temos: aij:

i = linhas

j = colunas

a11 = 2

a 12 = 5

a 21 = 7

a22 = -9

4° Exemplo:

A matriz pode ser construída de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Construindo uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação aij = 3i + 2j:

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3*1+2*1 3*1+2*2 3*1+2*3
3*2+2*1 3*2+2*2 3*2+2*3
3*3+2*1 3*3+2*2 3*3+2*3

Resultado:

5 7 9
8 10 12
11 13 15

5° Exemplo:

Vamos escrever a matriz B dada por (aij) 4 x 4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
1+1 1-2 1-3 1-4
2-1 2+2 2-3 2-4
3-1 3-2 3+3 3-4
4-1 4-2 4-3 4+4

Resultado:

2 -1 -2 -3
1 4 -1 -2
2 1 6 -1
3 2 1 8

Matriz simétrica

A matriz simétrica é aquela que se iguala a sua transposta, isto é: aij = aji.

A =

1 2
2 3

B=

1 2 3
2 -5 4
3 4 0

 

Matriz antissimétrica

É a matriz oposta da simétrica, isto é: aij = -aji

A =

0 1
1 0

 

Trigonometria

A trigonometria tem como objetivo determinar as medidas de ângulos e distâncias inacessíveis. As situações envolvendo ângulos e medidas no cotidiano são comparadas às figuras triangulares no intuito da aplicação das relações e razões trigonométricas. Essas razões são chamadas de: seno, cosseno e tangente.

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos:

  • Tri (três);
  • Gonos (ângulos);
  • Metron (medir).

Seu objetivo é calcular as medidas dois lados e ângulos de um triângulo.

Primeiras aplicações da trigonometria

A trigonometria surgiu em 300 a.C. entre os gregos, que buscavam resolver problema de astronomia pura. As primeiras aplicações práticas ocorreram com Ptolemaios em 150 d.C., passando a aplicar nos estudos astronômicos e determinando latitude e longitude de cidades, entre outros pontos geográficos em seus mapas.

Em 400 d.C. a trigonometria foi para a Índia onde era usada também para cálculos direcionados à astronomia. Em torno de 800 d.C., depois, chegou ao islamismo, sendo desenvolvida e aplicada também na cartografia. Por volta de 1.100 d.C. a trigonometria chegou à Europa cristã, tendo sua aplicação de forma muito importante dentro da navegação oceânica.

Lei dos senos

Esta lei estabelece que em um determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.

Como por exemplo, podemos citar em um triângulo ABC de lados a, b, c a lei dos senos é representada pela seguinte fórmula:

Lei dos senos

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos mostra que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Confira a fórmula:

Lei dos cossenos

Lei das tangentes

Esta lei estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.

Sendo assim, um triângulo ABC, de lados a, b, c e ângulos α, β e φ, opostos a estes três lados, temos:

Lei das tangentes

Trigonometria e seus estudos aplicados atualmente

  • Circunferência;
  • Funções circulares;
  • Relações trigonométricas;
  • Mudança de quadrante;
  • Fórmulas de transformações;
  • Equações trigonométricas;
  • Inequações trigonométricas;
  • Resolução de triângulo quaisquer.

Exercícios de trigonometria

Exemplo 1: um avião ao decolar forma com a pista um ângulo de 30°. Determine a sua altura após ter percorrido a distância de 200 metros.

Exemplo 1

Exemplo 1

A altura do avião será de 100 metros.

Exemplo 2: um poste de 4 metros de altura projeta uma sombra de 43 metros sobre o solo. Qual é a inclinação dos raios luminosos que originam a sombra?

Exemplo 2

Exemplo 2

A inclinação dos raios são de 30°.

Números-índices

Utilizados com frequência por economistas, engenheiros e administradores, os números-índices são medidas estatísticas capazes de estabelecer comparações de conjuntos de variáveis que se relacionam entre si. São também os números-índices os responsáveis por permitir a obtenção de um quadro sintetizado das alterações significativas em áreas afins, a exemplo dos preços de matérias-primas, dos produtos acabados, volume físico de produto, entre outros.

A partir da utilização de números-índices é possível determinar: 1) As variações que se passaram ao longo do tempo; 2) As diferenças entre lugares; 3) As disparidades entre categorias afins, a exemplo de produtos, organizações, pessoas, entre outras.

Influência e aplicação

Na área de administração, os números-índices exercem papel fundamental, sobretudo no que se refere a frequente desvalorização de uma moeda e quando o processo de crescimento econômico promove alterações continuadas nos hábitos dos consumidores. Tudo isso colabora para a ocorrência de transformações qualitativas e quantitativas na composição da produção nacional e de cada empresa.

Já na economia, a aplicação dos números-índices é essencial como um mecanismo de extrema utilidade para economistas, tanto para solucionar problemas relacionados tanto a microeconomia como a macroeconomia. Como exemplo, nessa área é possível constatar como exemplo, por meio dos números-índices, a precisão de se obter até que ponto o preço de algum produto foi elevado com relação aos preços dos outros produtos em um mesmo mercado econômico.

Enquanto que se a necessidade for estabelecer a inflação se fará necessário aferir a elevação dos preços dos vários produtos como um todo, por meio do índice geral de preços.

Números-índices
Foto: Reprodução

Compreendendo o conceito de relativo

O total em dinheiro gasto a cada 12 meses (um ano), se comparado a determinado ano base, sofre variação de um ano para o outro em decorrência das alterações no número de unidades comparadas dos diferentes artigos, assim como por causa das alternâncias nos preços unitários de tais produtos. Assim, constituem-se três variáveis, são elas: valor, quantidade e preço. De forma que o valor corresponde ao resultado do produto entre o preço e a quantidade.

Aplicação de índices agregativos ponderados

Um problema comum quando o assunto são os índices ponderados -além da fórmula a ser empregada para expressar as alterações de preço e de quantidade dos bens- é o critério para a fixação dos pesos correspondentes a cada um dos deles. A consideração levantada pelos métodos mais utilizados tem como fundamento a cooperação de cada bem no valor transacionado total. Esta é estabelecida, geralmente, respeitando dois critérios: o peso fixo na época básica ou o peso cambiante no período atual.

Entendendo o índice de Laspeyres (método da época Básica)

O índice de Laspeyres nada mais é do que a representação de uma média ajuizada de relativos, em que os aspectos que determinam isso são constituídos segundo preços e as qualidades da época básica. Assim, no índice de Laspeyres o fundamento que ajuíza os relativos é a época básica. Por isso tal menção na nomenclatura do método.

Unidades de medidas

A presença das unidades de medidas é uma constante no cotidiano de todo ser humano. Tanto para constatar a extensão de objetos e coisas, além de distâncias, áreas, a prática de medição numérica é muito comum. A unidade básica mais utilizada é o metro.

Entretanto, a utilização de um elemento de medida ou de outro depende da dimensão do que vai se medir. Há casos, por exemplo, em que o metro se torna obsoleto para precisar a extensão de coisas objetos/áreas muito extensas, fazendo-se necessário medir por meio do quilômetro.

Por outro lado, há situações em que o metro configura um elemento de medida grande demais para delimitar algo cuja dimensão é mínima, sendo preciso, assim, a utilização de unidades menores como o centímetro, milímetro. Todos esses conceitos se aplicam a outros sistemas de medida como área e volume, por exemplo.

Unidades de medidas
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Unidades de comprimento

Chamados de unidades secundárias de comprimento, os múltiplos e submúltiplos do metro possuem, consequentemente, valores e símbolos diferentes. Confira no esquema abaixo.

Unidades de comprimento

Conversão de medidas de comprimento

  • A conversão de uma unidade de medida para outra inferior deve ser feita por meio da multiplicação por 10. Exemplo: 5 m = 50 dm.
  • A conversão de uma unidade de medida para outra superior deve ser alcançada mediante a divisão por 10. Exemplo: 5 m = 0,5 dam.
  • Assim, a conversão de uma unidade de medida para qualquer outra deve ser executada por meio da aplicação, sucessivas vezes, de uma das duas regras citadas acima. Exemplos: 5 m = 500 cm / 5 m = 0,005 km.

Unidades de área

Unidades de área

Conversão de medidas de área

  • A conversão de uma unidade de medida para outra inferior deve ser feita por meio da multiplicação por 100. Exemplo: 5 m2 = 500 dm2.
  • A conversão de uma unidade de medida para outra superior deve ser alcançada mediante a divisão por 100. Exemplo: 5 m2 = 0,05 dm2.
  • Assim, a conversão de uma unidade de medida para qualquer outra deve ser executada por meio da aplicação, sucessivas vezes, de uma das duas regras citadas acima. Exemplos: 5 m2 = 500 cm2 / 5 m2 = 0,005 km2.

Unidades de volume

Unidades de volume

Conversão de medidas de volume

  • A conversão de uma unidade de medida para outra inferior deve ser feita por meio da multiplicação por 1.000. Exemplo: 5 m3 = 500 dm3.
  • A conversão de uma unidade de medida para outra superior deve ser alcançada mediante a divisão por 1.000. Exemplo: 5 m3 = 0,05 dm3.
  • Assim, a conversão de uma unidade de medida para qualquer outra deve ser executada por meio da aplicação, sucessivas vezes, de uma das duas regras citadas acima. Exemplos: 5 m3 = 500 cm3 / 5 m3 = 0,005 km3.

Compreendendo o litro

Uma medida de volume bastante conhecida do dia a dia da sociedade e que equivale a 1 dm3. Assim é compreendido o litro.

  • 1 litro = 0,005 m3 => 1 m3 = 1000 litros
  • 1 litro = 1 dm3
  • 1 litro = 1.000 cm3
  • 1 litro = 1.000.000 mm3

Por dentro do Sistema Internacional de Unidades (SI)

Fundamentado em seis unidades básicas, o Sistema Internacional de Unidades (SI) possui o metro como unidade fundamental de comprimento. Entretanto, para cada unidade há também as unidades secundárias, essas representadas por meio do acréscimo de um prefixo, a partir da proporção da medida, à nomenclatura da unidade principal. Confira abaixo:

  • Tera = T
  • Giga = G
  • Mega = M
  • Quilo = k
  • Hecto = h
  • Deca = da
  • Deci = d
  • Centi = c
  • Mili = m
  • Micro = m
  • Nano = n
  • Pico = p
  • Fento = f
  • Atto = a

Sistemas lineares

O agrupamento de equações as quais sua utilização se dá somente uma vez é denominado de sistema de equações lineares. Esse conjunto equacional é aplicado em diversas áreas da matemática aplicada, sobretudo em problemas numéricos em áreas como engenharia, biologia, física, economia, química, entre outros.

Uma equação dotada de variáveis na forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b, em a1, a2, a3,…, é considerada linear. Isso representa os coeficientes reais e o termo independente, expressado pelo coeficiente real b.

Exemplificando o assunto

  • x – 4y – z = 0
  • 4x + 5y – 10z = –3
  • 2x –3y + 5z = 6
  • x + y + z = 20

Compreendendo o sistema linear

Determinado grupo de p equações lineares variáveis x1, x2, x3…, xn compõem um sistema linear p de equações e n incógnitas.

Confira:

  • x + y = 3
  • x – y = 1

Com duas equações e duas variáveis:

  • 2x + 5y – 6z = 24
  • x – y + 10z = 30

Com duas equações e três variáveis:

  • x + 10y – 12z = 120
  • 4x – 2y – 20z = 60
  • –x + y + 5z = 10

Com três equações e três variáveis:

  • x – y – z + w = 10
  • 2x + 3y + 5z – 2w = 21
  • 4x – 2y – z + w = 16
Sistemas lineares
Foto: Reprodução

Entendendo a resolução de um sistema linear

  • x + y = 3
  • x – y = 1

A esse sistema se refere uma solução por par ordenado (2,1), uma vez que o mesmo contempla as duas equações. Vejamos:

  • x = 2 e y = 1
  • 2 + 1 = 3 3 = 3
  • 2 – 1 = 1 1 = 1

A partir do sistema:

  • 2x + 2y + 2z = 20
  • 2x – 2y + 2z = 8
  • 2x – 2y – 2z = 0

É possível afirmar que a sequência ordenada (5,3,2) representa a solução do sistema, uma vez que as três equações do sistema linear. Vejamos a seguir:

2 . 5 + 2 . 3 + 2 . 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 . 5 – 2 . 3 + 2 . 2 = 8          10 – 6 + 4 = 8          8 = 8
2 . 5 – 2 . 3 – 2. 2 = 0          10 – 6 – 4 = 0          0 = 0

Sistema linear e sua classificação

A classificação de um sistema linear é dada a partir do número de soluções expressadas pelo mesmo. Confira a seguir:

  • Sistema Possível e Determinado (SPD) – dotado apenas de uma solução.
  • Sistema Possível e Indeterminado (SPI) – dotado de infinitas soluções.
  • Sistema Impossível (SI) – não possui solução.

Sistema linear e uma matriz: compreenda essa associação

É possível que os coeficientes de um sistema linear ocupem as linhas e colunas de uma matriz, o que configura em uma associação entre sistema linear e matriz. Confira:

Sistema 1:

x + y = 3
x – y = 1

Matriz completa:

1 1 3
1 -1 1

Matriz incompleta:

1 1
1 -1

Sistema 2:

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa:

1 10 -12 120
4 -2 -20 60
-1 1 5 10

Matriz incompleta:

1 10 -12
4 -2 -20
-1 1 5

Importante!

É possível que o sistema também seja dotado de uma representação matricial. Confira no sistema de equações lineares a seguir:

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Representação matricial do sistema:

Representação matricial do sistema

Área das figuras planas

O cálculo da área das figuras planas faz parte dos conceitos relacionados à Geometria Euclidiana, que teve início na Grécia Antiga e foi fundamentada no estudo do ponto, da reta e do plano.

Este cálculo propõe-se a saber qual é a área da extensão de uma figura bidimensional, como um retângulo que pode representar a superfície de uma mesa, por exemplo.

Área é o nome dado à medida de uma superfície e a referência de unidade usada é o metro quadrado (m²).

Neste artigo, vamos abordar o cálculo da área das figuras geométricas planas mais comuns, e a área será representada pela letra S.

Cálculo da área de um triângulo

Um triângulo é um polígono de três lados e três ângulos. O cálculo da sua área pode ser feito multiplicando-se a base pela altura, que é obtida tomando por base a ponta do triângulo até a sua base.

Área das figuras planas

No triângulo equilátero, que é aquele que possui os três ângulos internos iguais, o cálculo da área pode ser feito pela seguinte fórmula:

Área das figuras planas , onde l representa a medida dos lados.

Cálculo da área de um retângulo

O retângulo é um quadrilátero equiângulo, isto é, possuem todos os ângulos internos iguais e os lados opostos também são iguais. No caso de um retângulo que apresenta todos os seus quatro lados iguais, trata-se de um tipo especial chamado de quadrado.

Por ser um paralelogramo, o cálculo da sua área usa a fórmula:

Área das figuras planas

Cálculo da área de um paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero que possui lados opostos iguais e paralelos. Podemos obter a área desta figura ao multiplicarmos a base pela altura. Observe a fórmula a seguir:

formula, onde h representa a altura e b a base.

Cálculo da área de um losango

O losango é um tipo especial de paralelogramo, pois além de apresentar todos os lados opostos iguais e paralelos, possui os quatro lados iguais, todos os ângulos internos iguais e as diagonais perpendiculares, o que possibilita a sua divisão em quatro triângulos iguais.

Observe a imagem a seguir:

 

Área das figuras planas

Caso as medidas de h e b estejam disponíveis, basta utilizar a mesma fórmula do paralelogramo para conhecer o valor da área. Caso contrário, devemos considerar a área de um dos quatro triângulos formados. Consideremos o seguinte: a base b é a metade da diagonal e a altura h é a metade da diagonal. Assim, para calcularmos a área total, multiplicamos o valor da área do triângulo por quatro.

Área das figuras planas

Ao simplificar, temos que:

Área das figuras planas

Cálculo diferencial

O cálculo diferencial, assim como o cálculo integral, surgiu a partir do teorema fundamental do cálculo. Os outros tipos de cálculos são subordinados a estes, o que os torna as principais áreas do cálculo. Conheça agora um pouco mais sobre o cálculo diferencial, como ele surgiu e como ocorre na prática.

Etimologia

A palavra cálculo, na Roma antiga, era calculus, que significa uma pequena pedra ou seixo que era utilizado para a contagem e para o jogo. O verbo latino, calculare significa “figurar”, “computar”, “calcular”.

Definição

Atualmente o cálculo é um sistema de métodos para resolver problemas quantitativos de uma natureza particular, como por exemplo no cálculo de probabilidades, no cálculo de variações e etc.

O cálculo diferencial trabalha com o estudo das taxas com que as grandezas mudam. Ele é uma das duas principais áreas do cálculo. Isaac Newton e Gottfried Leibniz, os criadores do cálculo moderno, formularam independentemente o teorema fundamental do cálculo que relaciona a diferenciação e a integração. Desta forma, o cálculo diferencial e o cálculo integral estão ligados pelo teorema fundamental do cálculo, que afirma que a diferenciação é o processo inverso da integração.

Cálculo diferencial
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A origem do cálculo

Alguns afirmam que o cálculo foi inventado pelos dois grandes gênios do século XVII, Isaac Newton e Gottfried Leibniz, porém o Cálculo é um produto de um longo processo evolutivo que teve seu início na Grécia Antiga e continuou evoluindo no século XIX.

Tanto Newton quanto Leibniz foram homens que contribuíram grandemente na matemática, tiveram uma importância decisiva, porém o Cálculo não teve início com eles. Esses dois reconheceram e exploraram a intrínseca relação entre o problema da tangente a uma função f(x) e a área sob esse mesmo gráfico, que naquela época ainda não era compreendida corretamente.

É possível afirmar que Newton e Leibniz foram os primeiros a compreender profundamente o teorema fundamental do cálculo. Este teorema diz que a solução do problema da tangente pode ser utilizada para resolver o problema da área. Este, provavelmente, é o teorema mais importante da matemática, que foi descoberto por ambos, porém independentemente um do outro. Mesmo tendo sido os dois que fizeram a descoberta, Leibniz levou os méritos por apresentar um trabalho mais claro. Estudiosos que os sucederam uniram os raciocínios de ambos para criar então uma arte de resolução de problemas de poder e versatilidade de impressionar.

Número de ouro

O número de ouro ainda é um mistério para os matemáticos, alguns afirmam que esse número possui características divinas, é como uma dádiva pois suas aplicações são ilimitadas. Também é conhecido como número Phi e é utilizado desde tempos remotos. Quer conhecer um pouco mais sobre esse número? Continue lendo!

Definição

O número de ouro, também conhecido como número Phi (lê-se o ph com som de f), razão áurea, razão de ouro e divina proporção, é um número irracional que se torna muito misterioso e enigmático, isso acontece porque ele surge em uma infinidade de elementos da natureza na forma de razão, conhecida como razão áurea. Esta razão é considerada por muitos estudiosos uma oferta de Deus ao mundo, pois não conseguem explica-la.

A origem

A origem do número de ouro é muito remota, ele existe há tanto tempo quanto os registros históricos conseguem alcançar. Há diversos registros desde a antiguidade em que é possível mostrar a presença desse número.

Se voltarmos ao Egito Antigo, no tempo da construção das pirâmides, é possível afirmar que as pirâmides de Gizé foram construídas tendo como base a razão áurea, onde a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O templo de Parthenon, que foi construído entre 447 e 443 a.C., possui a razão de ouro no retângulo que contem a fachada.

Número de ouro
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Sua representação e fórmula

O número de ouro é representado por uma letra grega, phi (onde o som do ph é f), esta letra grega é a inicial do nome de Phídas (Fídas), que era um escultor e também arquiteto. Ele foi encarregado da construção do Parthenon, localizado em Atenas.

A fórmula que resume a razão áurea e se chega ao número de ouro é:

Número de ouro
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Onde pode ser encontrado?

A razão áurea foi utilizada pelos pitagóricos na estrela pentagonal, Endoxus, que era um matemático grego, utilizou os seus estudos sobre proporções para estudar a secção áurea, Fibonacci usou a razão áurea na solução do problema dos coelhos e criou a famosa sequência de números de Fibonacci, Leonardo Da Vinci utilizou a razão áurea para atingir a perfeição de suas obras.

Mas a quantidade de aplicações possíveis para o número de ouro não pode ser feita de forma precisa. Este aparece também nas flores, diversos tipos de plantas, nas conchas, em triângulos, retângulos e muitas outras obras da natureza e do homem.

Sequência de Fibonacci

Provavelmente você já deve ter ouvido falar na sequência de Fibonacci. Esta é uma das principais sequências que existe e está presente em nosso cotidiano, até mesmo na natureza. É possível encontrar essa sequência até em filmes de ficção como O Código Da Vinci. Quer saber mais sobre ela? Continue lendo e descubra agora mesmo!

Sequência

Uma sequência é todo conjunto ou grupo em que os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem lógica. Por exemplo:

A sequência dos números ímpares = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…

A sequência dos números pares = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…

A sequência dos múltiplos de 5 = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30…

Essas sequências podem ser classificadas como finitas ou infinitas.

Leonardo de Pisa e a população de coelhos

Leonardo de Pisa (1170 – 1250), também conhecido como Fibonacci, era um famoso matemático italiano que criou uma sequência que tem o seu nome. Esta foi criada a partir da observação do crescimento de uma população de coelhos.

Sequência de Fibonacci
Foto: Reprodução

O matemático começou a pensar sobre quantos coelhos teria em um ano, para esse estudo ele partiu dos seguintes pressupostos:

  • Inicialmente haveria apenas um casal de coelhos;
  • Os casais só amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
  • Não haveriam problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
  • Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;
  • Os coelhos não morrem.

Com essas condições, Fibonacci pode notar que a partir do terceiro mês a quantidade de coelhos no mês seguinte era igual à soma desses dois meses anteriores. Isso aconteceu pois no primeiro mês havia apenas um casal de coelhos, como a maturidade sexual só era atingida a partir do segundo mês, no mês continuava a ter apenas um casal de coelhos. No terceiro mês haveria o nascimento de mais um casal, totalizando assim dois casais. No quarto mês, com o nascimento de mais um casal, gerado pelo primeiro casal (já que o segundo ainda não teria amadurecido sexualmente), teremos três casais. No quinto mês, mais dois casais são gerados, totalizando cinco casais. Seguindo essa lógica e fazendo os cálculos, ao final de um ano seriam 144 casais de coelhos.

A sequência de Fibonacci na natureza

Sequência de Fibonacci
Foto: Reprodução

Fibonacci ficou fascinado com a sua descoberta e passou a procurar na natureza essa sequência, além dos coelhos, ele achou a sequência nas conchas dos caramujos, no camaleão, no elefante, girassol, pinha, pétalas de rosas entre outros.