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Radiciação – Cálculos numéricos e propriedades

Certamente você já deve ter ouvido falar na escola sobre a raiz quadrada de um número. Essa operação é chamada de radiciação e a mesma representa a averiguação do valor de um número que, se multiplicado por ele mesmo certa quantidade de vezes, irá resultar em um novo número.

Para entender melhor, vejamos o exemplo da raiz quadrada de nove. A raiz desse número é três, uma vez que três multiplicado por ele mesmo irá resultar no numeral nove. Assim, a radicalização compreende a operação contrária à exponenciação ou potenciação: √a= b ⇔ a = b².

Na história, os registros indicam que a primeira vez que um sinal surgiu para indicar o radical ocorreu em um trabalho matemático do italiano Leonardo Fibonacci (1170-1250), denominado de Geometriae de Practica (1220). Enquanto que o atual símbolo utilizado para representar a raiz quadrada de um número (√) surgiu em 1525, em um trabalho de Christoff Rudolff (1499-1545).

Radiciação - Cálculos numéricos e propriedades
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Exemplificando a radiciação

  • √36 = 6 ⇔ 36 = 6², a raiz quadrada de 36 é 6, pois 6 x 6 = 36.
  • √49 = 7 ⇔ 49 = 7², a raiz quadrada de 49 é 7, pois 7 x 7 = 49.
  • ∛27 = 3 ⇔ 27 = 3³, a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3 x 3 x 3 = 27.
  • 4√81 = 3 ⇔ 81 = 34 , a raiz biquadrádica, ou raiz quarta, de 81 é 3, pois 3 x 3 x 3 x 3 = 81.

Conferindo as notações

Em uma notação típica radiciação n√a = b, o índice n expressa a quantidade de vezes que o número buscado foi multiplicado por ele mesmo. Enquanto que o radicando a representa o algarismo pelo qual se vai obter a raiz, esta indicada por b cujo símbolo do radical é expresso por √.

Entretanto, é importante ressaltar que se o índice for dois não se faz necessário indicá-lo no radical. A radiciação pode ser compreendida como potência francionária: n√ab = ab/n, considerando sempre n≥ 2, uma vez que a mesma de se define como uma operação inversa a uma potenciação.

A radiciação e suas propriedades

  • n√ab = ab/n, entenda: √49 = √7² = 72/2 = 7;
  • (n√a)n = a, entenda: (√8)² = (81/2)² = 82/2 = 8;
  • n√(a . b) = n√a . n√b, entenda: √(2 . 4) = √2 . √4, ressaltando: n√(a + b) ≠ n√a + n√b;
  • n√a/b = n√a / n√b, entenda: ∛3/2 = ∛3 / ∛2;
  • (n√a)m = n√am, entenda: (√3)³ = (31/2)³ = 33/2 = √3³ ;
  • mn√ab = m.n√ab, entenda: ∛√64 = 3.2√8² .

Efeitos decorrentes das propriedades

  • Todo radicando nulo possui uma raiz nula
  • Todo radicando positivo possui uma raiz positiva.
  • Um radicando negativo em um radical de índice sua raiz será inexistente.
  • Um radicando negativo em um radical de índice ímpar possui raiz negativa.
  • Todo radical com índice par resultará em uma raiz positiva.

Poliedros

Não é difícil nos depararmos no dia a dia com exemplos de objetos que representam formas de figuras geométricas espaciais. Tais figuras levam o nome de sólidos geométricos e se dividem em dois tipos: poliedros e corpos redondos. Esta publicação, especificamente, evidencia os poliedros em suas propriedades e definições.

Entretanto, antes de qualquer aprofundamento no assunto é preciso compreender a definição dessas figuras geométricas. Os poliedros representam figuras geométricas compostas por três elementos essenciais, são eles: vértices, arestas e faces.

Para ser considerado um poliedro regular, uma forma geométrica precisa ser dotada de faces cujos polígonos sejam regulares e congruentes. Nesse grupo, podemos evidenciar como exemplo típicos corpos presentes em nosso cotidiano, como a pirâmide e o cubo.

Poliedros
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Poliedros de Platão

No universo dos poliedros, existem inúmeras representações geométricas dos mais variados tipos e formatos. Entretanto, somente cinco dessas figuras são consideradas como poliedros de Platão.

Isso se dá em decorrência de somente tais corpos possuírem suas faces com a mesma quantidade de arestas, em que todos os ângulos poliédricos são dotados do mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Tais poliedros que, pela matemática geométrica são considerados de Plantão, são:

  • Tetraedro = Quatro faces
  • Hexaedro (cubo) = Seis faces
  • Octaedro = Oito faces
  • Dodecaedro = Doze faces
  • Icosaedro = Vinte faces

Relação de Euler

Associada à relação de dependência entre os elementos de um poliedro, a fórmula de Euler nada mais é do que uma expressão matemática formulada a partir dos estudos do matemático suíço Leonhard Euler (1707–1783). Tal fórmula foi desenvolvida por Euler em 14 de novembro de 1750, e constitui-se da seguinte maneira:

V – A + F = 2.

V = vértice.

A = arestas.

F = faces.

A expressão de Euler serve como fator determinante do número de faces, arestas e vértices de qualquer forma geométrica que constitua algum tipo de poliedro.

Associação dos poliedros

A contribuição do filósofo Platão no estudo dos poliedros foi além das representações geométricas. Isso porque em meados do século VI antes de Cristo o estudioso relacionou essas formas a elementos constituintes da natureza terrestre. Vejamos tais relações:

  • Tetraedro = fogo
  • Hexaedro (cubo) = terra
  • Octaedro = ar
  • Dodecaedro = universo
  • Icosaedro = água

Outros poliedros

Fora os poliedros de Platão, outros sólidos geométricos presentes no dia a dia também são considerados poliedros, são eles: prismas, pirâmides, paralelepípedos, blocos retangulares e quadrangulares são considerados poliedros.

Conjuntos numéricos

A matemática estudada hoje em dia nas escolas precisou de muitas mudanças na organização de conceitos matemáticos para ser estruturada. Os conjuntos numéricos foram estruturados com rigor por Georg Cantor partindo dos números inteiros usados para contar até os mais complexos que são usados em engenharias e áreas igualmente complexas.

Os conjuntos numéricos são, enfim, compreendidos como um conjunto de números cujas características são semelhantes. Confira abaixo alguns dos conjuntos de números.

Conjuntos dos números naturais

Os números naturais compreendem todos aqueles que são inteiros e positivos, inclusive o 0. Representado pela letra N, o conjunto pode ausentar o 0, mas como N*, que representará o conjunto dos números naturais não nulos.

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

N*= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Conjunto dos números inteiros

Os números inteiros são todos os números naturais somados aos seus opostos negativos. Esse grupo, representado pela letra Z, possui alguns subconjuntos.

Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Inteiros não negativos

O conjunto de números inteiros não negativos é igual ao conjunto dos números naturais, porém é representado por Z+.

Inteiros não positivos

É o conjunto que somente apresenta os números inteiros negativos, representado por Z -.

Z = { …, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Inteiros não negativos e não nulos

É o conjunto semelhante ao conjunto dos números inteiros não negativos, somente excluindo o zero.

Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }

Z*+ = N*

Inteiros não positivos e não nulos

São todos os números do conjunto Z , com exceção do zero:

Z*= {…, -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais e composto por todos os números inteiros acrescidos dos números decimais finitos (3,45, por exemplo), os números decimais infinitos periódicos (repetindo uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente, como 2,040404040404…). Esse conjunto é representado pela letra Q.

Conjunto dos números irracionais

Esse conjunto é representado pela letra I e é composto por todos os números decimais infinitos não-periódicos, como o Pi, por exemplo. O Pi vale 3,14159265… e, além dele, estão inclusos nesse conjunto ainda as raízes não exatas como a raiz quadrada de 2 que dá algo como 1,4142135…

Conjunto dos números reais

Os números reais, representados pela letra R, formam um conjunto com todos os conjuntos explicados anteriormente.

Conjuntos numéricos
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Funções do primeiro grau

As funções, independentemente de ser de 1° ou de 2° grau são usadas para relacionar valores de uma determinada expressão de acordo com os valores que a variável x assume.

Funções do primeiro grau

Funções do 1° grau

O termo função do 1° grau é usado para denominar qualquer função f de IR em IR que é apresentada como f(x) = ax + b, sendo que a e b são números reais e a sempre será diferente de 0.

Para que uma função seja de primeiro grau, ela deve apresentar uma expressão algébrica também de primeiro grau.

O termo a é denominado coeficiente de x, enquanto o número b é chamado de termo constante. Confira abaixo, para entender melhor esse conceito, algumas funções do 1° grau.

F(x) = 7x – 6, sendo que a= 7 e b= -6

F(x) = -4x -7, sendo que a= -4 e b= -7

F(x) = 8x, sendo que a= 8 e b= 0

Como fazer o gráfico de uma função?

Quando alteramos o valor de x, o valor de y também será alterado. Por exemplo, na expressão y = 2x -1, podemos determinar os valores 2 e 5 para x. Com isso, obteremos:

F(2)= 2.2 -1 = 3

F(5) = 2.5 -1 = 9

Com isso, obteremos sempre pares ordenados que são constituídos x, f(x)). Essas duas coordenadas obtidas auxiliarão na construção dos gráficos.

Agora vamos construir um gráfico. Para isso, vamos pegar a função y=3x -1. Seu gráfico é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Precisamos então obter dois de seus pontos e interliga-los:

Quando temos x= 0 podemos substituir na função: y = 3.0 -1, e chegaremos ao resultado de que para x= 0, y= -1.

Quanto temos y= 0, faremos o mesmo processo: 0= 3x -1, chegando ao resultado de que para y= 0, x= 1/3.

Ou seja, um dos pontos é (0, -1) e o outro ponto é (1/3, 0)

Com isso, podemos marcar os pontos no plano cartesiano e em seguida interliga-los com uma reta, conforme imagem abaixo

Funções do primeiro grau

Função crescente ou decrescente

Quando aumentamos os valores determinados para x, devemos observar o que acontece com o y. Confira abaixo em tabela os valores de x aplicados na função e o resultado para y:

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

Y

-10

-7

-4

-1

2

5

8

Com isso, podemos concluir que para cada valor de x aumentado com relação ao anterior, o y também aumentará. Dessa forma, podemos dizer que essa função é crescente.

A função f(x) = ax + b sempre será crescente quando o coeficiente de x for positivo (a > 0), e sempre será decrescente quando o coeficiente de x for negativo (a < 0).

Cilindros – Área e volume

Chamamos de cilindros os sólidos geométricos que possuem um corpo alongado e com aspecto arredondado, com o mesmo diâmetro em seu comprimento e com duas bases circulares em suas extremidades. Entre os cilindros, podemos encontrar os cilindros circulares retos ou oblíquos.

O reto apresenta um eixo e suas geratrizes perpendiculares aos planos das bases. Além disso, eles são congruentes à sua altura. O oblíquo, por sua vez, possui as geratrizes e o eixo oblíquos às bases e, além disso, estes não são congruentes à sua altura.

Como calcular a área de um cilindro?

Podemos considerar, quando se trata de um cilindro, a área lateral, a área da base e a área total, que terão suas fórmulas demonstradas e explicadas a seguir.

Área lateral

A área lateral de um cilindro pode ser visualizada por meio da planificação da figura, conforme demonstrado abaixo:

Cilindros – Área

Dessa forma, podemos observar que a altura é h, o raio r e a parte inferior da lateral é igual a 2πr. Com isso, concluímos que a área lateral AL de um cilindro pode ser calculada com a fórmula a seguir:

Cilindros – Área

Área da base

A área da base, representada por AB pode ser calculada com a fórmula usada para calcular a área de um círculo de raio r, uma vez que é um destes que compõe a sua base:

Cilindros – Área

O valor é ao quadrado pois o cilindro possui duas bases esféricas com raio r, iguais.

Área total

Para encontrar a área total, é preciso ter em mãos a área da base e a área lateral. Em seguida, você deverá somar esses dois elementos, conforme demonstrado na expressão abaixo.

Área total

Obs.: a área, aqui representada pela letra A, pode ter a letra S usada em sua representação dependendo do material de estudo. No entanto, a fórmula será a mesma e tem o mesmo fundamento, trocando apenas a letra de representação.

Volume

Agora que sabemos como encontrar a área de um cilindro, vamos descobrir como calcular o seu volume?

Para isso, independentemente de o cilindro ser circular reto ou oblíquo, é preciso multiplicar a área da base pela altura do cilindro. Se ficou difícil para entender dessa forma, confira a fórmula demonstrada abaixo:

Volume

Confira o exemplo abaixo:

Se temos um cilindro com altura h igual a 10 e raio igual a 6, podemos realizar o cálculo utilizando a fórmula:

Volume

Números primos

Os números primos são estudados na matemática. O termo é usado para designar os números naturais que tem apenas dois divisores diferentes que são o número 1 e ele mesmo. Por exemplo, o número dois somente pode ser dividido por 1 e por ele mesmo, sendo dessa forma um número primo. Ainda não deu para entender bem? Confira outro exemplo: o número 17 somente terá como resultado de uma divisão um número natural, se for dividido por um ou por ele mesmo. Já o 10 é um número que pode ser dividido por 1, por 2, por 5 e por ele mesmo, não caracterizando dessa forma um número primo. O número 10 é, no entanto, um número composto.

Números primos

Curiosidade

O único número par que é primo, é o número 2.

Você sabe por que falamos número “primo”? Ao contrário do que nos vem à mente de imediato – a relação de parentesco , primo refere-se a ideia de primeiro. Mas o que isso significa? Isso significa que os números primos – ou primeiros – são os responsáveis por gerar os outros números por meio da multiplicação, ou seja, todos os números naturais que não são primos, são produtos deles.

Como reconhecer um número primo?

Para que possamos identificar se um número é ou não primo, é preciso dividi-lo pelos números primos mais simples de encontrar como 2, 3, 5, 7, 11 e assim por diante. Deve-se fazer isso até encontrar uma divisão com resto 0 – descobrindo dessa forma que não se trata de um número primo -, ou então encontrar uma divisão com quociente menor que o divisor e com resto diferente de zero – descobrindo um número primo -.

Ficou confuso? Confira um exemplo:

Vamos analisar o número 161, certo? Podemos dizer, logo de cara, que ele não é par, pois termina em 1. Portanto, esse número não pode ser dividido por 2. Em seguida, dividimos ele por 3, e chegaremos a um resultado de 53,6, não sendo um número inteiro. Depois, dividiremos por 5 – mas aqui você pode usar uma dica. Somente números que terminam em 0 e em 5 são divisíveis por 5 -, e descobriremos que não dá um número inteiro. Ao dividirmos por 7, no entanto, descobriremos que o resultado dá um número inteiro de 23 e o resto é igual a 0. 161 é, portanto, um número divisível por 7, descaracterizando-o como número primo.

A prova

“Números primos são mais do que qualquer quantidade fixada de números primos”. A frase, proposição número 20 do livro IX da Teoria dos Números, quer dizer que os números primos estão presentes de forma infinita nos números.

A prova para essa infinidade é dada por um conceito: todos os números primos, nesta situação, serão chamados de N, e N, portanto, é um número natural. Podemos enumerá-los, pois estão representando uma contagem, certo? Então ficaria da seguinte maneira:

P1, P2, P3, P4, …, PN

Considerando que M é o produto de todos os números primos existentes, chegaríamos ao seguinte:

M= P1 x P2 x P3 x P4 x … x PN

M, portanto, é um número maior que N e não é primo, pois é composto por todos os números primos que serão divisores dele. M + 1, no entanto, será maior que N, mas não poderá ser dividido por nenhum número primo, pois haverá sempre o número 1 no resto.

Com isso, podemos chegar a conclusão de que PN não pode ser o maior dos números primos, ou ainda que exista. Pode-se concluir também que existe um número primo maior que PN, já que M + 1 é divisível por ele. Outra conclusão que chegamos, é que M + 1 é um número primo, pois como M é a multiplicação de todos os números primos, e M é divisível por todos eles, M + 1 não será divisível por nenhum número primo.

Prismas

Chamamos de prismas os sólidos que são formados por dois planos paralelos e uma superfície prismática, que são delimitados por faces planas. Estes podem ser retos ou oblíquos, sendo que os retos formam com a base um ângulo de 90°, e os oblíquos formam outros ângulos, sempre diferente de 90°.

O sólido possui arestas laterais que delimitam as suas faces laterais – e podem ser perpendiculares ou oblíquas à base -, a base que é formada por um polígono, a altura h que é a distância entre as duas bases e a seção reta, que é a seção obtida por meio de um plano criado perpendicular às arestas laterais. Confira a imagem abaixo para entender melhor.

prismas

Características

Apesar de poderem apresentar diversas formas, os prismas possuem algumas características básicas comuns entre eles. O número de faces de um prisma sempre será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases, tanto inferior quanto superior.

Todos eles possuem área da base, área lateral, área total e volume, sendo que suas medidas vão depender do formato do polígono que forma as bases.

O que é um prisma regular?

Chamamos de prisma regular aqueles que possuem bases como regiões poligonais regulares. Por exemplo, considere um prisma triangular regular: nele, as bases serão formadas por triângulos equiláteros.

Tipos

Prismas

Diante disso, os prismas são caracterizados como triangulares, que têm como base um triângulo; quadrangulares, que têm como base um quadrado; pentagonais, que têm como base um pentágono; hexagonais, que têm como base um hexágono; heptagonais, que têm como base um heptágono; ou octogonais, que têm como base um octógono.

Cálculo da área e do volume de um prisma

Para encontrar a área total de um prisma, é preciso primeiro analisar de que tipo ele é para saber qual polígono forma a sua base. Para entendermos, vamos pegar como exemplo um prisma que tem como base um triângulo. Neste caso, precisaremos calcular primeiramente a área do triângulo que forma a base. Em seguida, é preciso analisar se ele é reto ou oblíquo. Quando é reto, suas faces laterais são constituídas por retângulos, no entanto no caso do oblíquo, suas faces laterais são formadas por paralelogramos. É preciso também calcular a área lateral do prisma somando todas as áreas das faces laterais.

Para encontrar a área total de um prisma, então, poderemos somar a área lateral e o dobro da área da base.

Stotal=Slateral+2.Sbase

Para encontrar o volume, basta que multipliquemos a área da base pela altura.

Vprisma=Sbase.h

Teorema de Tales

O teorema de tales foi desenvolvido por Tales de Mileto, que foi um filósofo, astrónomo e matemático grego muito importante, que viveu antes de Cristo, no século VI. É conhecido como o pai da geometria descritiva, contribuindo não somente neste campo, mas em outras extensões da matemática.

Utilizando seus conhecimentos em geometria e proporcionalidade, conseguiu determinar a altura de uma pirâmide, Tales também observou que os raios solares que chegavam ao planeta Terra estavam em posição inclinada e paralela, e com base nisso, descobriu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos. Observando a natureza descobriu uma situação de proporcionalidade que relaciona as retas paralelas e as transversais.

Segmentos proporcionais

Segmentos proporcionais são retas paralelas cortadas por retas transversais, isto é, as retas a, b e c são paralelas, e as retas r e r’ são transversais, conforme a imagem a baixo:

Segmentos proporcionais
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De acordo com o Teorema de Tales, verificamos as seguintes proporcionalidades:

Segmentos proporcionais

Nesta relação estabelecida acima podemos notar que envolve noções de razão e proporção, o segmento AB está para o segmento BC, assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. Desta forma percebemos a igualdade entre as duas razões que formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através de uma multiplicação cruzada, isto é, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicando o Teorema de Tales:

1° exemplo: vamos encontrar o valor de x (o segmento desconhecido):

Teorema de Tales
Foto: Reprodução

Teorema de Tales

2° exemplo: vamos determinar o valor de x na figura a seguir:

Teorema de Tales
Foto: Reprodução

Teorema de Tales

3° exemplo: vamos aplicar a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, e com isso determinar o valor dos seguimentos AB e BC no desenho abaixo:

Teorema de Tales
Foto: Reprodução

Neste caso, encontramos os seguintes dados:

AB = 2X – 3

BC = X + 2

A’B’ = 5

B’C’ = 6

Agora vamos encontrar o valor de x:

Teorema de Tales

Podemos concluir que o Teorema de Tales possui várias formas de aplicação, nas mais variadas situações, envolvendo cálculos de distâncias inacessíveis e até mesmo aplicabilidade em questões relacionadas à Astronomia.

Juros simples e compostos

Os juros, além de estarem presentes no estudo da matemática, são o pesadelo de muitas pessoas. Com certeza você já ouviu falar sobre eles: bancos com taxas de juros, taxas Selic, entre outras coisas, certo? Mas você entende o que são os juros?

juros-simples-e-compostos

Juros nada mais são do que um atributo de uma aplicação financeira. É como se o devedor – quem pega emprestado – tivesse que pagar uma tarifa para utilizar o dinheiro do credor – o que está emprestando . Por exemplo, se você pegou emprestado R$ 100,00, terá que pagar esse valor somado às taxas de juros. Existem, no entanto, dois tipos de juros que serão explicados a seguir.

Juros simples

O juro simples é aquele que é adicionado ao capital inicial no final da aplicação. Por exemplo, se você tem juros simples de 5% ao mês sobre o valor de R$ 100,00 que emprestou, isso significa que você terá mensalmente um acréscimo de R$ 5,00 ao valor pago.

A fórmula usada para calcular esse tipo de juros é:

j = C.i.t

Considerando que:

J= juros

C= capital

i= taxa

t= tempo

Confira a fórmula aplicada ao exemplo abaixo:

Se uma pessoa empresta a outra um valor igual a R$ 2.000,00, a juros simples pelo prazo de 3 meses, e a taxa é de 3% ao mês, quanto será pago de juros ao final de todo o tempo?

C = R$ 2.000,00

t = 3 meses

i = 3% ou 0,03 a.m. (ao mês)

Então: J = C.i.t

J= 2.000 x 3 x 0,03

J= 180

Com isso, temos que ao final do empréstimo o devedor pagará R$ 180 reais de juros.

Juros compostos

O juro composto, ao contrário do simples, é somado ao capital ao final de cada período de aplicação, formando enfim um novo capital. Por exemplo, se o capital inicial é igual à R$ 100,00 e a taxa de juro composto é de 5% por período – nesse caso usamos o mês -, a cada mês você terá que pagar 5% a mais sobre o valor pago no mês interior. Ou seja, no primeiro mês, você pagará R$ 105,00, no segundo mês, pagará R$ 110,25, no terceiro R$ 115,77 e assim por diante.

A fórmula usada para calcular os juros compostos é:

Juros compostos

Sendo que:

M = montante

C = Capital

i = taxa de juros

t = tempo

Vamos considerar o mesmo problema que usamos para os juros simples, mas aplicando os juros compostos:

Juros compostos

Ou seja, ao final do empréstimo os juros serão de R$ 185,45, totalizando o valor do montante descoberto no cálculo. Se quisermos fazer a conta por mês, basta mudar o período, mas sempre mudar o valor do Capital no segundo mês em diante para o valor encontrado no período anterior. Nesse caso, teríamos que ao primeiro mês, os juros seriam de R$ 60,00, ao segundo mês, de 61,80 e ao terceiro mês R$ 63,65.

Área do triângulo

Dentro dos estudos da Geometria, o triângulo é uma das figuras mais importantes, isto ocorre em função de sua grande utilidade em nosso cotidiano. O triângulo é um polígono (é a parte do plano limitada por uma linha poligonal fechada), com três lados e três ângulos internos, é classificado de acordo com seus ângulos e lados. É considerado uma figura plana simples, e por sinal a mais admirável de todas.

No que tange questões relacionadas as estruturas na construção civil é muito utilizado e importante, como por exemplo, muitos telhados são construídos no formato de triângulo, sendo necessário em razão da segurança apresentada.

Frequentemente encontramos formas triangulares nas construções, como forma de torna-las mais protegidas. O triângulo é muito utilizado na elaboração de projetos estruturais, por possuir diferentes fórmulas matemáticas com a intenção de determinar sua área. Expressões como “metade do produto da base pela altura” e a “base vezes altura dividido por dois”, são muito populares entre os cálculos do triângulo, entre outras.

Área do triângulo de acordo com Heron de Alexandria

Outra forma de calcular a área do triângulo é através do semiperímetro dos lados, expressão está dada por Heron de Alexandria, também é possível calcular a área do triângulo utilizando o seno de um dos ângulos, mas para que isso aconteça é necessário que sejam fornecidos.

1° Exemplo: determine a área do triângulo a seguir considerando que sua base mede 20 metros e a altura 10 metros.

1° Exemplo 1° Exemplo

2° Exemplo: calcule a área do triângulo que possui os lados medindo 4 m, 8 m e 10 m. Neste caso não foi fornecido à altura do triângulo, sendo assim, a fórmula do 1° exemplo não poderá utilizada, nesses casos devemos calcular a área do triângulo utilizando a fórmula de Heron.

2° Exemplo

3° Exemplo: o triângulo possui lados medindo 4 m e 8 m, respectivamente. Sabendo que ele possui um ângulo na base medindo 30°, determine a área dessa figura.

3° Exemplo