Sistemas lineares

O agrupamento de equações as quais sua utilização se dá somente uma vez é denominado de sistema de equações lineares. Esse conjunto equacional é aplicado em diversas áreas da matemática aplicada, sobretudo em problemas numéricos em áreas como engenharia, biologia, física, economia, química, entre outros.

Uma equação dotada de variáveis na forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b, em a1, a2, a3,…, é considerada linear. Isso representa os coeficientes reais e o termo independente, expressado pelo coeficiente real b.

Exemplificando o assunto

  • x – 4y – z = 0
  • 4x + 5y – 10z = –3
  • 2x –3y + 5z = 6
  • x + y + z = 20

Compreendendo o sistema linear

Determinado grupo de p equações lineares variáveis x1, x2, x3…, xn compõem um sistema linear p de equações e n incógnitas.

Confira:

  • x + y = 3
  • x – y = 1

Com duas equações e duas variáveis:

  • 2x + 5y – 6z = 24
  • x – y + 10z = 30

Com duas equações e três variáveis:

  • x + 10y – 12z = 120
  • 4x – 2y – 20z = 60
  • –x + y + 5z = 10

Com três equações e três variáveis:

  • x – y – z + w = 10
  • 2x + 3y + 5z – 2w = 21
  • 4x – 2y – z + w = 16
Sistemas lineares
Foto: Reprodução

Entendendo a resolução de um sistema linear

  • x + y = 3
  • x – y = 1

A esse sistema se refere uma solução por par ordenado (2,1), uma vez que o mesmo contempla as duas equações. Vejamos:

  • x = 2 e y = 1
  • 2 + 1 = 3 3 = 3
  • 2 – 1 = 1 1 = 1

A partir do sistema:

  • 2x + 2y + 2z = 20
  • 2x – 2y + 2z = 8
  • 2x – 2y – 2z = 0

É possível afirmar que a sequência ordenada (5,3,2) representa a solução do sistema, uma vez que as três equações do sistema linear. Vejamos a seguir:

2 . 5 + 2 . 3 + 2 . 2 = 20      10 + 6 + 4 = 20     20 = 20
2 . 5 – 2 . 3 + 2 . 2 = 8          10 – 6 + 4 = 8          8 = 8
2 . 5 – 2 . 3 – 2. 2 = 0          10 – 6 – 4 = 0          0 = 0

Sistema linear e sua classificação

A classificação de um sistema linear é dada a partir do número de soluções expressadas pelo mesmo. Confira a seguir:

  • Sistema Possível e Determinado (SPD) – dotado apenas de uma solução.
  • Sistema Possível e Indeterminado (SPI) – dotado de infinitas soluções.
  • Sistema Impossível (SI) – não possui solução.

Sistema linear e uma matriz: compreenda essa associação

É possível que os coeficientes de um sistema linear ocupem as linhas e colunas de uma matriz, o que configura em uma associação entre sistema linear e matriz. Confira:

Sistema 1:

x + y = 3
x – y = 1

Matriz completa:

1 1 3
1 -1 1

Matriz incompleta:

1 1
1 -1

Sistema 2:

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Matriz completa:

1 10 -12 120
4 -2 -20 60
-1 1 5 10

Matriz incompleta:

1 10 -12
4 -2 -20
-1 1 5

Importante!

É possível que o sistema também seja dotado de uma representação matricial. Confira no sistema de equações lineares a seguir:

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Representação matricial do sistema:

Representação matricial do sistema

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